สมการที่ไม่มีวิธีทำ มีแต่คำตอบ: รามานุจัน กับความรู้ที่มาก่อนการพิสูจน์

เช้าวันหนึ่งกลางเดือนมกราคม ปี 1913 บนโต๊ะอาหารของวิทยาลัยทรินิตี มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ มีซองจดหมายหนาผิดปกติวางรออยู่ แสตมป์มาจากอินเดีย ลายมือบนซองไม่มีใครคุ้น ผู้รับคือ จี. เอช. ฮาร์ดี นักคณิตศาสตร์ที่ถูกนับว่าเก่งที่สุดของอังกฤษในเวลานั้น ข้างในเป็นกระดาษเก้าหน้า อัดแน่นด้วยสมการราวร้อยยี่สิบข้อ ไม่มีวิธีทำแนบมาเลยสักข้อเดียว

ผู้เขียนแนะนำตัวว่าเป็นเสมียนแผนกบัญชีที่ท่าเรือมัทราส เงินเดือนปีละยี่สิบปอนด์ ไม่เคยเรียนจบมหาวิทยาลัย ฮาร์ดีอ่านผ่าน ๆ แล้ววางลง สมการบางข้อดูคุ้นตา บางข้อดูเหมือนคนเพ้อเขียนขึ้นเอง เขาเกือบจะทิ้งมันไว้ตรงนั้น อย่างที่นักคณิตศาสตร์มีชื่อมักทำกับจดหมายจากคนแปลกหน้า

แต่คืนนั้นสมการพวกนั้นตามมาหลอกหลอน ฮาร์ดีชวนเพื่อนร่วมงาน จอห์น ลิตเทิลวูด มานั่งไล่ดูด้วยกันหลังอาหารค่ำ ถึงเที่ยงคืน ทั้งคู่ได้ข้อสรุปที่ฮาร์ดีเขียนถึงในภายหลังว่า สมการเหล่านี้ต้องเป็นจริง เพราะถ้าไม่จริง ก็ไม่มีใครในโลกจะมีจินตนาการพอจะแต่งมันขึ้นมาได้

เด็กชายกับหนังสือที่ไม่มีวิธีทำ

ศรีนิวาสะ รามานุจัน เกิดปี 1887 ในครอบครัวพราหมณ์ยากจนที่เมืองกุมภโกณัม อินเดียใต้ บ้านของเขาอยู่ไม่ไกลจากวัดใหญ่ประจำเมือง แม่พาเขาไปสวดมนต์ที่นั่นแทบทุกเย็น ตอนอายุสิบหก เพื่อนยื่นหนังสือเล่มหนึ่งให้ยืม เป็นตำรารวมผลลัพธ์คณิตศาสตร์ของ จี. เอส. คาร์ ทฤษฎีบทราวห้าพันข้อเรียงต่อกัน เขียนไว้แต่ข้อสรุป แทบไม่มีบทพิสูจน์

หนังสือที่ครูทั่วไปมองว่าแห้งแล้ง กลับเป็นเล่มที่เปลี่ยนชีวิตเขา รามานุจันไล่พิสูจน์ทฤษฎีบทในนั้นด้วยตัวเองบนกระดานชนวน กระดาษเป็นของแพง เขาจึงเขียนด้วยชอล์ก ลบด้วยข้อศอก แล้วจดเฉพาะผลลัพธ์สุดท้ายลงสมุด นิสัยนี้ติดตัวไปตลอดชีวิต สมุดบันทึกของเขาเต็มไปด้วยคำตอบ และแทบไม่มีวิธีทำ เหมือนหนังสือของคาร์ที่เขาโตมาด้วย

ความหมกมุ่นมีราคาของมัน เขาสอบชิงทุนเข้าวิทยาลัยได้ แต่เรียนไม่จบ เพราะทำแต่ข้อสอบคณิตศาสตร์ วิชาอื่นปล่อยร้างจนทุนถูกริบ เขากลายเป็นชายหนุ่มตกงานที่เดินถือสมุดบันทึกไปตามบ้านคนรู้จัก ขอทำงานเสมียนแลกเงินเดือนเล็กน้อย บางช่วงอดมื้อกินมื้อ กว่าจะได้งานประจำที่ท่าเรือมัทราสก็อายุยี่สิบสี่แล้ว

พระแม่บนปลายลิ้น

ถ้าถามรามานุจันว่าสมการพวกนี้มาจากไหน คำตอบของเขาไม่เกี่ยวกับตำราเล่มไหนเลย เขาบอกว่าพระแม่นามคีรี เทพประจำตระกูล มาเขียนสมการบนลิ้นของเขาในความฝัน บางเช้าเขาตื่นมาพร้อมผลลัพธ์ที่รู้ว่าจริง แต่อธิบายไม่ได้ว่ารู้ได้อย่างไร ประโยคหนึ่งของเขาถูกจดจำต่อกันมา ว่าสมการไม่มีความหมายอะไรสำหรับเขา ถ้ามันไม่ได้แทนความคิดหนึ่งของพระเจ้า

เรื่องแบบนี้ฟังยากสำหรับเคมบริดจ์ ที่ซึ่งคณิตศาสตร์คือการพิสูจน์ทีละบรรทัด ฮาร์ดีเป็นคนไม่เชื่อพระเจ้าอย่างเปิดเผย และไม่เคยแน่ใจว่าควรวางคำอธิบายของเพื่อนไว้ตรงไหน แต่เขาไม่เถียงสักครั้ง สิ่งที่เขาทำคือชวนรามานุจันข้ามน้ำมาทำงานด้วยกัน

ข้ามทะเลที่ห้ามข้าม

คำเชิญนั้นไม่ง่าย สำหรับพราหมณ์เคร่งครัด การข้ามทะเลถือเป็นมลทิน แม่ของรามานุจันคัดค้านอยู่นาน จนวันหนึ่งนางเล่าว่าฝันเห็นพระแม่นามคีรีอนุญาตให้ลูกชายไป ฤดูใบไม้ผลิปี 1914 ชายหนุ่มที่ไม่เคยออกจากอินเดียใต้จึงยืนอยู่บนดาดฟ้าเรือเดินสมุทร มองแผ่นดินเกิดหดเล็กลงจนหายไปในเส้นขอบฟ้า

ห้าปีที่เคมบริดจ์คือช่วงที่งานของเขาเบ่งบานที่สุด และร่างกายพังเร็วที่สุด สงครามโลกครั้งแรกปะทุในปีเดียวกับที่เขามาถึง อาหารมังสวิรัติหายาก เขาทำกับข้าวกินเองตามลำพังในห้อง ทำงานติดกันสามสิบชั่วโมงแล้วหลับยาวยี่สิบชั่วโมง ฤดูหนาวอังกฤษกัดลึกกว่าที่เสื้อโค้ตมือสองจะรับไหว ปี 1917 เขาล้มป่วยจนต้องเข้าโรงพยาบาล แพทย์ลงความเห็นว่าเป็นวัณโรค

กระนั้นในห้าปีนั้น รามานุจันตีพิมพ์งานที่เปลี่ยนโฉมทฤษฎีจำนวน ได้รับเลือกเป็นสมาชิกราชสมาคมแห่งลอนดอนตอนอายุสามสิบ และเป็นชาวอินเดียคนแรกที่ได้เป็น Fellow ของวิทยาลัยทรินิตี ตำแหน่งเดียวกับที่ครั้งหนึ่งเคยเป็นของนิวตัน

เกร็ดที่ถูกเล่าซ้ำมากที่สุดเกิดบนเตียงคนป่วย ฮาร์ดีนั่งแท็กซี่มาเยี่ยมแล้วเปรยว่าเลขทะเบียนรถที่นั่งมา 1729 ช่างเป็นเลขจืดชืด รามานุจันตอบแทบจะทันที ว่าไม่ใช่เลย มันคือจำนวนที่เล็กที่สุดที่เขียนเป็นผลบวกของกำลังสามได้สองแบบ ฮาร์ดีเก็บเรื่องนี้ไปเล่าซ้ำตลอดชีวิต เหมือนคนที่ยังหาคำอธิบายไม่ได้ ว่าเพื่อนของเขารู้สิ่งเหล่านี้ได้อย่างไร

สมุดเล่มสุดท้าย

ปี 1919 รามานุจันกลับอินเดียในสภาพผอมโทรม ความป่วยไม่ดีขึ้น แต่ปีสุดท้ายของชีวิต บนเตียง เขายังเขียนต่อ กระดาษหลายร้อยแผ่นที่ภายหลังถูกเรียกว่า "สมุดบันทึกที่หายไป" จดหมายฉบับสุดท้ายถึงฮาร์ดีต้นปี 1920 พูดถึงฟังก์ชันตระกูลใหม่ที่เขาเพิ่งค้นพบ เขียนไว้ตามแบบของเขา คือมีข้อสรุป ไม่มีวิธีทำ เขาเสียชีวิตเดือนเมษายนปีนั้น อายุสามสิบสองปี

สมุดเหล่านั้นตกทอดมาถึงเราเกือบครบ กระดาษที่หายไปนานกว่าครึ่งศตวรรษถูกพบอีกครั้งในกล่องเอกสารที่ห้องสมุดของทรินิตีเมื่อปี 1976 และนักคณิตศาสตร์ยังไล่พิสูจน์สมการในนั้นกันมาจนถึงทุกวันนี้ ฟังก์ชันจากจดหมายฉบับสุดท้ายกลายเป็นเครื่องมือในงานศึกษาหลุมดำเมื่อไม่กี่ปีมานี้ หนึ่งร้อยปีหลังคนเขียนจากไป

วิธีทำ — ขั้นตอนที่พาเราจากสิ่งที่รู้ไปสู่สิ่งที่ยังไม่รู้ — คือสิ่งที่เราถูกสอนว่าสำคัญไม่แพ้คำตอบ ครูหักคะแนนเมื่อเราข้ามมัน รามานุจันใช้ทั้งชีวิตข้ามมัน อาจเพราะกระดาษแพง อาจเพราะหนังสือเล่มแรกในชีวิตสอนเขามาแบบนั้น หรืออาจเพราะเขาเห็นอะไรบางอย่างที่คนอื่นต้องเดินอ้อมไปถึง บนกระดานชนวนแผ่นเดิม สมการนับไม่ถ้วนถูกลบทิ้งด้วยข้อศอก เหลือไว้แต่คำตอบ